聊聊十五周算法训练营——背包问题

今天是十五周算法训练营的第十三周，主要讲背包问题专题。（欢迎加入十五周算法训练营，与小伙伴一起卷算法）

「背包问题：给你一个可装载重量为W的背包和N个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i]，价值为val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？」

0-1背包动态规划思路

明确状态和选择

状态有两个：背包的容量和可选择的物品

选择就是：装进背包或者不装进背包

dp数组的含义

刚才明确了状态，现在需要用dp数组把状态表达出来，刚才找到的「状态」，有两个，也就是说我们需要一个二维dp数组，一维表示可选择的物品，一维表示背包的容量。

dp[i][w]表示的就是对于[0……i]个物品，当前背包容量为w时的最大价值

根据选择，思考状态转移的逻辑

dp[i][w]表示：对于前i个物品，当前背包的容量为w时，这种情况下可以装下的最大价值是dp[i][w]。

如果你没有把这第i个物品装入背包，那么很显然，最大价值dp[i][w]应该等于dp[i-1][w]。你不装嘛，那就继承之前的结果。

如果你把这第i个物品装入了背包，那么dp[i][w]应该等于dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1]。

首先，由于i是从 1 开始的，所以对val和wt的取值是i-1。

明确base case: 此处的base case就是dp[ 0 ][ …… ]和dp[……][0]的时候，这个时候没有物品或者背包没有容量，此时价值为0

背包问题动态规划的结构

for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1，选择2...)

0-1背包解题思路

/**
 * 0-1背包问题解题思路
 * 
 * 给你一个可装载重量为W的背包和N个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i]，价值为val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？
 */

// 该问题是一个典型的动态规划问题
// 1. 明确状态和选择
// 状态就是背包的容量和可选的物品
// 选择就是要不要装该物品
// 2. dp数组含义
// dp[i][w]表示前i个物品、当前背包容量为w时，能装的最大价值
// 3. 状态转移逻辑
// 为了获取dp[i][w]的时候需要考虑当前要放入物品的重量是否可以放到背包中，即比较当前背包容量和要放入物品重量
// 若不能放进去:dp[i][w] = dp[i - 1][w]
// 若可以放进去,则此时就需要比较放入和不放入后的价值dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - wtPresent] + valPresent)

function knapsack(W, N, wt, val) {
    // 定义dp
    const dp = new Array(N + 1);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = (new Array(W + 1)).fill(0);
    }

    // base case
    // 当在定义dp的时候已经进行了初始化为0，0就是起base case
    for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
        for (let w = 1; w < dp[0].length; w++) {
            // 判断当前物品是否可以放到背包中，如果不能放进去
            if (w - wt[i - 1] < 0) {
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            } else {
                // 如果可以放进去
                dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - wt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }

    // 最终结果
    return dp[N][W];
}

分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5] 输出：true 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

// 对于经典背包问题，是给你一个可装载重量为W的背包和N个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i]，价值为val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

// 该问题其实是经典背包问题的变形，可以先对集合求和，得出sum,该问题就可以转换为背包问题：
// 给一个可装载重量为sum / 2的背包和N个物品，每个物品的重量为nums[i],现在让你装物品，是否存在一种装法，能够恰好将背包装满

// 1. 明确状态和选择
// 状态就是背包容量和可选择的物品
// 选择就是装进背包和不装进背包
// 2. dp数组函数
// dp[i][j] = x表示，对于前i个物品，当前背包的容量为j时，若x为true，则说明可以恰好将背包装满，若x为false，则说明不能恰好将背包装满。
// 3. 状态转移逻辑
// 若放不进去，dp[i][j] = dp[i - 1][j]
// 若能够放进去dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]]
// 4. base case
// base case就是：
// (1)有物品但是容量为0,肯定能装满，此时即dp[……][0] = true
// (2)没有物品但是有容量时，肯定装不满，此时即dp[0][……] = false

function canPartition(nums) {
    let sums = 0;
    nums.forEach(num => sums += num);

    // 如果是奇数，不能被划分，直接返回false
    if (sums % 2 === 1) {
        return false;
    }

    const numsLen = nums.length;

    const dp = new Array(numsLen + 1);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = (new Array(sums / 2 + 1)).fill(false);
    }

    // base case
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i][0] = true;
    }

    for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
        for (let j = 1; j < dp[0].length; j++) {
            if (j - nums[i - 1] < 0) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
            }
        }
    }

    // 最终其dp[n][sum / 2]就是起结果,因为此时能找到和的一半，另一半也是和的一半
    return dp[numsLen][sums / 2];
}

零钱兑换II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出：4 解释：有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

// 该问题可转换为有一个背包，最大容量为amount，有一系列物品coins，每个物品的重量为coins[i]，每个物品的数量无限。请问有多少种方法，能够把背包恰好装满？
// 与经典背包区别的是每个物品的数量是无限的，这也就是完全背包问题。

// 1. 状态和选择
// 状态：背包的容量和可选择的物品
// 选择：放进背包和不放进背包
// 2. 定义dp
// dp[i][j]:若只使用前i个物品，当背包容量为j时，有dp[i][j]种方法可以装满背包。换句话说：若只使用coins中的前i个硬币的面值，若想凑出金额j，有dp[i][j]中凑法
// 3. 状态转移逻辑
// 若不能放进去：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
// 若能够放进去：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - coins[i]]
// 4. base case
// (1)有硬币，但是目标结果为0，即dp[0……n][0] = 1
// (2)没有硬币，即dp[0][0……n] = 0

function change(amount, coins) {
    const n = coins.length;
    const dp = new Array(n + 1);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = (new Array(amount + 1)).fill(0);
    }

    // base case
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }

    // 遍历dp
    for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
        for (let j = 1; j < dp[0].length; j++) {
            // 如果当前硬币不能放进背包
            if (j < coins[i - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                // 能放进去，则结果就是放进去与不放进去的加和
                // 为什么当放进去的时候为i，因为此时已经决定使用coins[i - 1]的值
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]];
            }
        }
    }

    // 目标结果就是[N, amount]
    return dp[n][amount];
}

// 通过观察发现dp[i][j]之和dp[i][……]和dp[i - 1][……]相关
// 则可进行状态压缩
function change1(amount, coins) {
    // 定义dp
    const dp = (new Array(amount + 1)).fill(0);

    // base case
    dp[0] = 1;

    // 进行遍历
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        for (let j = 1; j < dp.length; j++) {
            if (j >= coins[i]) {
                dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
            }
        }
    }

    return dp[dp.length - 1];
}

const amount = 5;
const coins = [1, 2, 5];

console.log(change1(amount, coins));

最后一块石头的重量II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

// 该问题和分割等和子集问题（416）处理方式类似，就是背包问题
// 1. 状态和选择
// 状态：背包和当前可选物品
// 选择：是否装进背包
// 2. dp数组含义
// dp[w][i]表示背包容量为w时，前i个物品，最多能够装的物品重量
// 3. 状态转移逻辑
// 不能装进去：dp[w][i] = dp[w][i - 1]
// 能够装进去：dp[w][i] = Math.max(dp[w][i - 1], dp[w - stones[i]][i - 1] + stones[i])
// 4. base case
// 当i = 0时，dp[0……w][0] = 0
// 当w = 0时，dp[0][……] = 0
function lastStoneWeightII(stones) {
    // 得到总重量
    let sum = 0;
    stones.forEach(stone => {
        sum += stone;
    });

    const weight = Math.floor(sum / 2);

    // 定义dp
    const dp = new Array(weight + 1);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = (new Array(stones.length + 1)).fill(0);
    }

    // base case 在初始化时已经完成

    // 循环遍历
    for (let w = 1; w < dp.length; w++) {
        for (let i = 1; i < dp[0].length; i++) {
            // 判断是否可以装进去
            if (w - stones[i - 1] < 0) {
                dp[w][i] = dp[w][i - 1];
            } else {
                dp[w][i] = Math.max(dp[w][i - 1], dp[w - stones[i - 1]][i - 1] + stones[i - 1]);
            }
        }
    }

    return sum - 2 * dp[weight][stones.length];
}

const stones = [31,26,33,21,40];
console.log(lastStoneWeightII(stones));

目标和

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-‘ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-‘ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。 返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3 输出：5 解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。 -1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 – 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 – 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 – 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 + 1 – 1 = 3

// 该方法可以用背包解决
// 如何转换为01背包问题呢？
// 假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x
// 所以我们要求的就是x - (sum - x) = S
// x = (S + sum) / 2
// 此时问题就转化为：装满容量为x背包，有几种方法

// 1. 状态和选择
// 2. dp数组含义
// dp[i][w]：前i个物品、背包容量为w时，有几种方式装满
// 3. 状态转移逻辑
// 装不进去：dp[i][w] = dp[i - 1][w]
// 能装进去：dp[i][w] = dp[i - 1][w - nums[i]] + dp[i - 1][w]
// 4. base case
// dp[0][0] = 1
function findTargetSumWays(nums, target) {
    // 求和
    const sum = nums.reduce((total, num) => total + num);

    // weight必须大于0且为整数
    if (target + sum < 0 || (target + sum) % 2 === 1) {
        return 0;
    }
    // 求weight
    const weight = (target + sum) / 2;

    // dp
    const dp = new Array(nums.length + 1);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = (new Array(weight + 1)).fill(0);
    }

    // base case
    dp[0][0] = 1;

    // 循环
    for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
        for (let w = 0; w < dp[i].length; w++) {
            // 不能装进去
            if (w - nums[i - 1] >= 0) {
                dp[i][w] = dp[i - 1][w] + dp[i - 1][w - nums[i - 1]];
            } else {
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            }
        }
    }

    return dp[nums.length][weight];
}

// 用回溯算法实现一遍
function findTargetSumWays1(nums, target) {
    let result = 0;
    const backtrack = (index, sum) => {
        // 结束条件
        if (index === nums.length) {
            if (sum === target) {
                result++;
            }
            return;
        }

        backtrack(index + 1, sum + nums[index]);
        backtrack(index + 1, sum - nums[index]);
    };

    backtrack(0, 0);

    return result;
}

const nums = [0, 0, 0, 1];
const target = 1;

console.log(findTargetSumWays1(nums, target));